Toán tử

Spin thỏa mãn điều kiện giao hoán tương tự như momen động lượng orbital:

[ S j , S k ] = i ℏ ε j k l S l {\displaystyle {\displaystyle [S_{j},S_{k}]=i\hbar \varepsilon _{jkl}S_{l}}}

Trong đó εjkl là kí hiệu Levi-Civita.

S 2 | s , m s ⟩ = ℏ 2 s ( s + 1 ) | s , m s ⟩ S z | s , m s ⟩ = ℏ m s | s , m s ⟩ . {\displaystyle {\displaystyle {\begin{aligned}S^{2}|s,m_{s}\rangle &=\hbar ^{2}s(s+1)|s,m_{s}\rangle \\S_{z}|s,m_{s}\rangle &=\hbar m_{s}|s,m_{s}\rangle .\end{aligned}}}}

Toán tử lên và xuống tác động lên các eigenvectors cho ta

S ± | s , m s ⟩ = ℏ s ( s + 1 ) − m s ( m s ± 1 ) | s , m s ± 1 ⟩ {\displaystyle {\displaystyle S_{\pm }|s,m_{s}\rangle =\hbar {\sqrt {s(s+1)-m_{s}(m_{s}\pm 1)}}|s,m_{s}\pm 1\rangle }}

trong đó S± = Sx ± i Sy.

Không giống như momen động lượng orbital, cac eigenvector không phải là hàm điều hòa cầu. Chúng không phải là hàm của θ và φ. Không có lý do nào để giải thích cho giá trị bán nguyên của s và ms.

Một tính chất khác của nó, tất cả các hạt lượng tử đều có spin nội tại. Spin được lượng tử hóa theo đơn vị của hằng số Planck, do đó hàm trạng thái của hạt là ψ = ψ(r,σ) thay vì ψ = ψ(r) với σ nhận các giá trị rời rạc

σ ∈ { − s ℏ , − ( s − 1 ) ℏ , ⋯ , + ( s − 1 ) ℏ , + s ℏ } . {\displaystyle \sigma \in \{-s\hbar ,-(s-1)\hbar ,\cdots ,+(s-1)\hbar ,+s\hbar \}.}

Ma trận Pauli

Toán tử của Spin A biểu diễn cho hạt có spin -1/2 là

S = ℏ 2 σ = ℏ 2 ( σ x x ^ + σ y y ^ + σ z z ^ ) {\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {\hbar }{2}}\mathbf {\sigma } ={\frac {\hbar }{2}}\left(\sigma _{x}{\hat {x}}+\sigma _{y}{\hat {y}}+\sigma _{z}{\hat {z}}\right)}

là toán tử vector spin còn ̀σ-s là ma trận Pauli. Trong tọa độ Cartesian, cac thành phần của nó là

S x = ℏ 2 σ x , S y = ℏ 2 σ y , S z = ℏ 2 σ z . {\displaystyle S_{x}={\hbar \over 2}\sigma _{x},\quad S_{y}={\hbar \over 2}\sigma _{y},\quad S_{z}={\hbar \over 2}\sigma _{z}\,.}

với trường hợp đặc biệt cho hạt spin -1/2 các ma trận Pauli cho bởi

σ x = ( 0 1 1 0 ) σ y = ( 0 − i i 0 ) σ z = ( 1 0 0 − 1 ) . {\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\,\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,.}

Phép xoay

Như đã mô tả bên trên, cơ học lượng tử chỉ ra rằng thành phần momen động lượng đo được theo các chiều có thể nhận các giá trị rời rạc.Mô tả lượng tử đơn giản nhất của spin hạt là hệ các số phức tuơng ứng với biên độ xác suất của một giá trị hình chiếu cho trước của momen động lượng của một trục cho trước. Ví dụ, Một hạt có spin -1/2, ta cần hai số hạng

a±1/2, -biên độ để được hình chiếu ứng với momen động lượng ħ/2 và −ħ/2, thỏa mãn:

| a 1 2 | 2 + | a − 1 2 | 2 = 1. {\displaystyle \left|a_{\frac {1}{2}}\right|^{2}+\left|a_{-{\frac {1}{2}}}\right|^{2}\,=1.}

Với một hạt tổng quát với spin s, ta cần 2s+1 phép đo như vậy. Do các số trên phụ thuộc vào trục toạ độ, chúng biến đổi lẫn nhau một cách không bình thường khi trục tọa độ bị xoay. Rõ ràng định luật biến đổi phải là tuyến tính, do đó ta có thể biểu diễn chúng bằng một cách liên kết một ma trận với mỗi phép xoay, và tích của hai ma trận xoay A và B phải tương đương với biểu diễn của phép xoay AB. Hơn nữa, phép xoay phải bảo toàn tích vô hướng của cơ học lượng tử, do đó ma trận biến đổi thỏa mãn:

∑ m = − j j a m ∗ b m = ∑ m = − j j ( ∑ n = − j j U n m a n ) ∗ ( ∑ k = − j j U k m b k ) ∑ n = − j j ∑ k = − j j U n p ∗ U k q = δ p q . {\displaystyle {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{m=-j}^{j}a_{m}^{*}b_{m}&=\sum _{m=-j}^{j}\left(\sum _{n=-j}^{j}U_{nm}a_{n}\right)^{*}\left(\sum _{k=-j}^{j}U_{km}b_{k}\right)\\\sum _{n=-j}^{j}\sum _{k=-j}^{j}U_{np}^{*}U_{kq}&=\delta _{pq}.\end{aligned}}}}

Nói một cách toán học, những ma trận này cho biết phép biểu diễn hình chiếu unitary của nhóm biến đổi SO(3). Mỗi phép biểu diễn như vật tuơng ứng với phép biểu diễn của nhóm bao trùm lên SO(3), đó chính là nhóm SU(2). Có một phép biểu diễn không thể tối giản của SU(2) cho mỗi chiều, tuy nhiên phép biểu diễn này là n-chiều thực cho n lẻ và n chiều phức cho n chẵn. Với phép xoay θ theo trục với vector chuẩn hóa θ ^ {\displaystyle {\textstyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}} , U có thể viết là:

U = e − i ℏ θ ⋅ S , {\displaystyle U=e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\boldsymbol {\theta }}\cdot {\mathbf {S} }},}

trong đó θ = θ θ ^ {\displaystyle {\textstyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}} , và S là vectoer của toán tử spin

Ứng dụng của spin

Có một ngành khoa học mới ra đời mang tên Spintronics (Điện tử học spin).Tên gọi này bắt nguồn từ việc sử dụng spin hay moment từ của electron thay vì sử dụng điện tích của nó trong các ngành như microelectronics. Tính chất từ của electron hay spin của nó được giải thích bởi Paul Dirac khi nhà vật lý thiên tài này trong nỗ lực kết hợp cơ học lượng tử và thuyết tương đối. Các dụng cụ sử dụng tính chất spin của điện tử có thể được dùng trong các máy tính lượng tử và thông tin lượng tử trong tương lai.

Thực tế là sự định hướng của spin điện tử được sử dụng trong các cảm biến từ, đặc biệt là trong các đầu đọc và ổ cứng từ. Trong tất cả các môi trường ghi từ thì bề mặt ghi có chứa các lớp từ, các lớp từ này được chia thành các vùng từ nhỏ (magnetic domains). Moment từ của các vùng từ này được biểu diễn bởi hai trạng thái thông tin ‘0’ và ‘1’. Trong trường hợp của ổ đĩa cứng, các trạng thái này được đọc bởi một dụng cụ mỏng và nhạy có chứa các lớp vật liệu từ và không từ xen kẽ nhau.

Ưu điểm thứ hai của các dụng cụ sử dụng tính chất của spin là khả năng tích trữ. Trong những năm gần đây, nhờ sự phát hiện của hiệu ứng từ điện trở khổng lồ (GMR), mà khả năng tích trữ của các vật liệu từ tăng lên một cách nhanh chóng. Hiệu ứng từ điện trở khổng lồ được khám phá bởi Albert Fert (thuộc trường đại học Paris 11 và Peter Grunberg, nó bắt nguồn từ spin-up và spin-down của điện tử gặp các trở kháng khác nhau khi chúng đi qua các lớp từ. Các điện tử với spin định hướng cùng chiều (sắt từ) sẽ gặp một sự trở kháng bé hơn so với các điện tử có spin định hướng ngược chiều nhau. Sau sự ra đời của GMR, thì TMR (tunnelling magnetoresistance) cũng ra đời, nó sinh ra một sự thay đổi điện trở lớn hơn nhiều so với GMR trong một trường bé.